Paradox_dvojiciek

"Paradox" dvojičiek - výpočet.

Tato tema riesi svetoznamy "paradox" dvojiciek z teorie relativity. Slovo paradox je v uvodzovkach, lebo to vobec paradox nie je. Svojim vypoctom sa to pokusim ukazat. Vypocet som previedol pred par rokmi (sem som to len skopiroval, dufam bez chyb) jednoduchou numerickou metodou, ale napriek tomu musim upozornit, ze hlavne druha cast vypoctu (z pohladu dvojicky v rakete) je pochopitelna len pre citatela s velmi rozvinutym analytickym myslenim, ktory sa zaroven zaujima a ma urcite vedomosti o teorii relativity.

Zadanie ulohy :

Mame kozmicku zakladnu daleko od vsetkych hviezd, teda gravitacne pole je siroko daleko slabe a rovnomerne a nemusime s nim ratat (kvoli jednoduchosti).

Na zakladni ziju dvojicky, z krorych sa jedno rozhodne ist na vylet raketou (to si TY). Dvojicka ktora ostala na zakladni (to som JA) vidi (ma na to potrebne meracie pristroje) priebeh letu dvojicky v rakete nasledovne :

Jeden rok raketa zrychluje rovnomerne z 0 na 0,8c , potom jeden rok leti raketa rovnomerne 0,8c, potom jeden rok spomaluje na 0 a okamzite sa otoci a zase jeden rok zrychluje rovnomerne na 0,8c, leti jeden rok rovnomerne 0,8c a potom posledny rok rovnomerne zpomaluje z 0,8c na 0 a pristane na zakladni.

Dvojicka ktora zostala na zakladni zostarla o 6 rokov, otazka je o kolko rokov zostarla dvojicka co bola na vylete ?

Z pohladu dvojicky, ktora zostala na zakladni (JA) je mozne ulohu riesit cisto cez specialnu teoriu relativity, nakolko JA sa nachadzam v inercialnom systeme a teda tvoj cas (Tty) sa spomaluje voci mojmu (Tja) len v zavislosti od Tvojej rychlosti voci mne .
Teda pouzijeme jednoduchy Lorentzov vzorec pre dilataciu casu :

Tty = Tja * sqrt (1-v^2/c^2)

Prvy usek Tvojej cesty je zrychlovanie z 0 na 0,8c za jeden moj rok. Tento cas (1 rok) ak by sme rozdelili na male casove useky, tak v ramci jedneho maleho casoveho useku by sme mohli uvazovat o konstantnej rychlosti, ktora sa potom v dalsom casovom useku skokom zmeni na vyzsiu rychlost, pricom ten skok je 0,8c delene poctom casovych usekov, ktore si zvolime.
Potom mozeme vypocitat Tvoj cas Tty pre kazdy maly casovy usek, hore uvedenym jednoduchym vzorcom.Ak tieto casy scitame a ten pocet casovych usekov bude dostatocne velky (teda velkost casoveho useku sa bude blizit k 0) tak zistime spravny vysledok - Tvoj cas Tty .

Takze by bolo treba pouzit "integral" (autor jape),

ale kedze ja som uz neni kamarat s integralmi (bol som pred 20 rokmi v skole) tak si radsej tie jednotlive casove useky spocitam , kedze mam pocitac a som skor programator ako matematik a som rad ked viem co pocitam .

Program pre vypocet po krokoch (zvolil som krok 0,0001 roku) vyzera nasledovne :
casovykrok=0.0001
vypoccas=0
Tty=0
Tja=0
rychlost=0
deltarychl=0.8*casovykrok
DO WHILE rychlost<=0.8
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
? Tty

Vysledok behu programu je Tty = 0,8796 roku

Teda kym si Ty zrychloval pocas mojho jedneho roku Tebe uplynulo 0,8796 roku

Pocas Tvojho rovnomerneho letu rychlostou 0,8 c za jeden moj rok Tebe uplynie :

Tty = 1*sqrt(1-0,8*0,8 ) = 0,6 roku

Kedze zrychlovacich ( a spolmalovacich) usekov mame 4 a rovnomernych 2

celkovy vysledok je :

Tty = 4*0,8796 + 2*0,6 = 4,7184 rokov

ked Tja = 6 rokov

Vypocet z pohladu dvojicky v rakete :

Tak teraz JA nasadnem do rakety a TY budes pozerat z kozmickej zakladni na mna ako som na vylete s raketou . Priebeh letu, teraz uz mojej rakety, bude ten isty, teda TY z Tvojho pohladu (z raketovej zakladne) budes vidiet to iste co som videl predtym JA, pretoze naprogramovanie mojich raketomotorov bude to iste ako ked si bol Ty na vylete. Takze uz dopredu viem , ze budem na vylete 4,7184 rokov (to je teraz Tja) a moje vypocty musia ukazat , ze Tebe uplynulo 6 rokov (to je teraz Tty).

Harmonogram mojho letu kvoli prehladu je nasledovny :

Faza letu moj cas fazy letu (Tja)

zrychlenie 0-0,8c 0,8796 roka

rovnomerny let 0,8c 0,6 roka

spomalenie 0,8c-0 0,8796 roka

zrychlenie 0-0,8c 0,8796 roka

rovnomerny let 0,8c 0,6 roka

spomalenie 0,8c-0 0,8796 roka

------------------------------------------------------------

SPOLU 4,7184 roka

Tak najprv spocitam to najlahsie, rovnomernu fazu letu podla Lorentzovho vztahu pre casovu dilataciu. JA sice letim rychlostou 0,8 c za cas 0,6 roka ,ale mne sa zda ze TY sa odomna vzdalujes tou rychlostou, takze :

Tty=0,6*sqrt(1-0,8*0,8 ) = 0,36 roku (a plus 0,36 roku aj pri mojej ceste spat)

Pre casovu dilataciu, vyplyvajucu z fazy letu so zrychlenim (spomalenim), musime brat do uvahy dve zlozky. Prvu , ktora vyplyva zo specialnej teorie relativity (to je ta, podla ktorej sa mi zda ze sa TY odo mna vzdalujes/priblizujes urcitou rychlostou-v tomto pripade premenlivou) a druhu, ktora vyplyva z obecnej teorie relativity, kde dilatacia casu vyplyva zo zmeny gravitacno-akceleracneho potencialu medzi zakladnou a raketou.

Je tu este jeden problemik, moja raketa z Tvojho pohladu sice zrychluje rovnomerne, ale z mojho pohladu nie, lebo mi plynie cas stale pomalsie a pomalsie a teda sa mi zda ze zrychlujem stale viac a viac a citim stale vacsiu silu ktora ma tlaci do sedadla. S tym teda musim ratat , lebo JA sa viem pozerat na deje len z mojho pohladu.(Pouzivam sice moje casy z Tvojho vypoctu, ale tie si viem zmerat svojimi hodinami)

Tak ideme vypocitat tu prvu zlozku. Mne sa vidi, ze sa odomna vzdalujes so svojou zakladnou, stale vacsou rychlostou a dokonca aj so stale vacsim zrychlenim. Ale tak ci tak mozem pouzit postup minimalnych casovych usekov s konstantnou rychlostou z predosleho vypoctu (ten "moj integral").Potrebujem vsak mat moju rychlost (vlastne zdanlivo Tvoju) vyjadrenu ako funkciu mojho casu, pretoze "krok v" (rychlostny krok) nebude konstantny ako pri minulom vypocte ale bude nelinearnou funkciou casu.

Pre lubovolny cas (napriklad Tm alebo Tn) ktory je z intervalu (0 - 1 rok) si viem z linearnej (fialovej) funkcie vypocitat prislusnu rychlost (Vm alebo Vn) mojej rakety. Ja ale potrebujem mat tuto rychlost ako funkciu mojho casu Tja. Tento moj cas (napriklad Tjam) si vypocitam z casu Tm tak, ze sputim predosly program v intevale pre Tm od 0 do Tm. Vysledok programu bude cas Tjam.

Pozor ! Cas Tjam nemozem z casu Tm vypocitat len dosadenim do Lorentzovho vztahu, musi to ist cez "integral" alebo moj program (numericke riesenie).

Tak isto si vypocitam aj cas Tjan (z casu Tn) a rozdiel tychto dvoch casov bude casovy interval, v ktorom budem uvazovat ze rychlost je konstantna , pouzijem priemer (Vn+Vm)/2.

Pre tento casovy interval (Tjan-Tjam) a pre konstatntnu priemernu rychlost (Vn+Vm)/2 si vypocitam Tvoj casovy interval Lorentzovou transformaciou, a ked to urobim pre vsetky casove intervaly a scitam si Tvoje casove intervaly co z toho vysli, tak mam vysledok.

Program je nasledovny :

caskrokcelk=0.001
Tm=0.0000001
Tn=0.0000001
Tty2=0
DO WHILE Tn<=1
Tn=Tn+caskrokcelk
Vm=0.8*Tm
Vn=0.8*Tn

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjam=0
rychlost=0
deltarychl=(Vm*casovykrok)/Tm
DO WHILE rychlost<=Vm
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjam=Tty

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjan=0
rychlost=0
deltarychl=(Vn*casovykrok)/Tn
DO WHILE rychlost<=Vn
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjan=Tty

Vpriem=(Vn+Vm)/2

Tty2=Tty2+(Tjan-Tjam)*SQRT(1-Vpriem*Vpriem)

Tm=Tn
ENDDO
? Tty2

vysledok behu programu : Tty=0,7867 rokov

(ak by som bol zjednodusil priebeh na rovnu ciaru tak 0,7737 rokov)

Tieto roky budu ale ovplyvnene ( znizene-zrychlenie OD zakladne,zvysene-zrychlenie KU zakladni ) druhou zlozkou , zmenou gravitacno-akceleracneho potencialu !!!

Na vypocet tej druhej zlozky ,ktora vyplyva zo zmeny gravitacno-akceleracneho potencialu medzi zakladnou a raketou pouzijeme vzorec :

Td = e^((a*h)/(c*c))

kde

Td - koeficient casovej dilatacie ( Ttyg =Tty * Td )

a - zrychlenie (kolma zlozka medzi raketou a zakladnou, dolezity je smer zrychlenia)

h - vzdialenost medzi zakladnou a raketou (kolma,konecna)

e - Eulerovo cislo = 2,71828

Takze potrebujem priebeh mojho zrychlenia ako funkciu mojho casu a tiez priebeh vzdialenosti prejdenej raketou ako funkciu mojho casu, nakolko moje zrychlenie ako vieme nie je konstantne a tak by sme mohli pouzit zase moje numericke riesenie, pomocou malych casovych usekov .

V tomto pripade by slo o sumu Tvojich uz dilatovanych casocasovych usekov nasobenych aktualnym koeficientom (Td) , vyplyvajucim z mojho aktualneho konstaneho zrychlenia a aktualnej vzdialenosti v ktorej sa nachadzam od zakladne na konci daneho velmi maleho casoveho useku.

Pouzili by sme vzorce :

am = (Vn-Vm) / (Tjan-Tjam)

hm = (am / 2) * (Tjan-Tjam) ^ 2 = ((Vn-Vm) / 2) * (Tjan-Tjam)

takze :

Tdm = e ^ ( (am * hm) / (c*c)) ( kedze Vm,Vn su "cislo krat c" tie "cecka" sa vykratia )

S numerickym (presnym) riesenim je to kusok zlozitejsie, tak pouzijeme zatial priblizne, ktore je viac prehladne .

Preto sa uchylim k zlednoduseniu riesenia a priebeh mojho zrychlenia si nahradim rovnou ciarou (modra) :

Takze :

prvy usek - zrychlovaci :

Td = e^((a*h)/(c*c))

a = - 0,8c / 0,8796rok = - 0,9095 c/rok

h1 = a/2 * Tja^2 = 0,9095/2 c/rok * 0,8796^2 rok^2 = 0,3518 c*rok

Td1 = 2,71828 ^(- 0,9095*0,3518 ) = 0,7262

Tty1 = 0,7867 * 0,7262 = 0,5713 roku

druhy usek - rovnomerny :

Tty2=0,6*sqrt(1-0,8*0,8 ) = 0,36 roku

treti usek - spomalovaci :

Td = e^((a*h)/(c*c))

a = 0,9095 c/rok

h3 = 2* h1 + 0,8 *0,6 = 1,1836 c*rok

Td3 = 2,71828 ^( 0,9095*1,1836) = 2,9343

Tty3 = 0,7867 * 2,9343 = 2,3084 roku

stvrty usek - zrychlovaci :

Td = e^((a*h)/(c*c))

a = 0,9095 c/rok

h4 = h3 = 1,1836 c*rok

Td4 = 2,71828 ^( 0,9095*1,1836) = 2,9343

Tty4 = 0,7867 * 2,9343 = 2,3084 roku

piaty usek - rovnomerny :

Tty5=0,6*sqrt(1-0,8*0,8 ) = 0,36 roku

siesty usek - spomalovaci :

Td = e^((a*h)/(c*c))

a = - 0,9095 c/rok

h6 = h1 = 0,3518 c*rok

Td6 = 2,71828 ^( - 0,9095*0,3518 ) = 0,7262

Tty6 = 0,7867 * 0,7262 = 0,5713 roku

Takze spolu : 0,5713 + 0,36 + 2,3084 + 2,3084 + 0,36 + 0,5713 =

Tty = 6,4794 rokov

Takze dost velka chyba 0,4794 roka z titulu zjednoduseneho (modra ciara) zrychlenia !!!

A preto teraz podme na presne riesenie !

Presne numericke riesenie spociva v tom, ze pre kazdy maly casovy interval casu rakety, najprv spocitame zodpovedajuci casovy interval zakladne, ktory vyplyva zo vzajomnej relativnej rychlosti a potom tento vysledny casovy interval zakladne vynasobime dilatacnym koeficientom akceleracno-gravitacneho potencialu platneho prave pre ten maly casovy interval rakety . Tieto vysledne casove intervaly scitame a mame vysledok pre jednotlive useky .
Takze tu su programy numerickeho riesenia :

caskrokcelk=0.001
Tm=0.0000001
Tn=0.0000001
Tty2=0
Tty22=0
am=0
hm=0
Td=0
DO WHILE Tn<=1
Tn=Tn+caskrokcelk
Vm=0.8*Tm
Vn=0.8*Tn

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjam=0
rychlost=0
deltarychl=(Vm*casovykrok)/Tm
DO WHILE rychlost<=Vm
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjam=Tty

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjan=0
rychlost=0
deltarychl=(Vn*casovykrok)/Tn
DO WHILE rychlost<=Vn
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjan=Tty

Vpriem=(Vn+Vm)/2
Tty22=(Tjan-Tjam)*SQRT(1-Vpriem*Vpriem)
am=(Vn-Vm)/(Tjan-Tjam)
hm=hm+(((Vn-Vm)/2)*(Tjan-Tjam))*1000
Td=2.71828^(-am*hm)
Tty2=Tty2+(Tty22)*Td
Tm=Tn
ENDDO
? Tty2

Prvy casovy usek (zrychlovaci) Tty1 = 0,6762 roku

Druhy casovy usek (konstantny) Tty2 = 0,6*sqrt(1-0,8*0,8 ) = 0,36 roku

caskrokcelk=0.001
Tm=0.0000001
Tn=0.0000001
Tty2=0
Tty22=0
am=0
hm=0.3518+0.8*0.6
Td=0
DO WHILE Tn<=1
Tn=Tn+caskrokcelk
Vm=0.8-0.8*Tm
Vn=0.8-0.8*Tn

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjam=0
rychlost=0.8
deltarychl=-((0.8-Vm)*casovykrok)/Tm
DO WHILE rychlost>=Vm
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjam=Tty

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjan=0
rychlost=0.8
deltarychl=-((0.8-Vn)*casovykrok)/Tn
DO WHILE rychlost>=Vn
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjan=Tty

Vpriem=(Vn+Vm)/2
Tty22=(Tjan-Tjam)*SQRT(1-Vpriem*Vpriem)
am=-(Vn-Vm)/(Tjan-Tjam)
hm=hm-(((Vn-Vm)/2)*(Tjan-Tjam))*1000
Td=2.71828^(am*hm)
Tty2=Tty2+(Tty22)*Td
Tm=Tn
ENDDO
? Tty2

Treti casovy usek (spomalovaci) Tty3 = 1,9398 rokov

caskrokcelk=0.001
Tm=0.0000001
Tn=0.0000001
Tty2=0
Tty22=0
am=0
hm=0.3518*2+0.8*0.6
Td=0
DO WHILE Tn<=1
Tn=Tn+caskrokcelk
Vm=0.8*Tm
Vn=0.8*Tn

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjam=0
rychlost=0
deltarychl=((Vm)*casovykrok)/Tm
DO WHILE rychlost<=Vm
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjam=Tty

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjan=0
rychlost=0
deltarychl=((Vn)*casovykrok)/Tn
DO WHILE rychlost<=Vn
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjan=Tty

Vpriem=(Vn+Vm)/2
Tty22=(Tjan-Tjam)*SQRT(1-Vpriem*Vpriem)
am=(Vn-Vm)/(Tjan-Tjam)
hm=hm-(((Vn-Vm)/2)*(Tjan-Tjam))*1000
Td=2.71828^(am*hm)
Tty2=Tty2+(Tty22)*Td
Tm=Tn
ENDDO
? Tty2

Stvrty casovy usek (zrychlovaci) Tty4 = 1,9391 rokov

Piaty casovy usek (konstantny) Tty5 = 0,6*sqrt(1-0,8*0,8 ) = 0,36 roku

caskrokcelk=0.001
Tm=0.0000001
Tn=0.0000001
Tty2=0
Tty22=0
am=0
hm=0.3518
Td=0
DO WHILE Tn<=1
Tn=Tn+caskrokcelk
Vm=0.8-0.8*Tm
Vn=0.8-0.8*Tn

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjam=0
rychlost=0.8
deltarychl=-((0.8-Vm)*casovykrok)/Tm
DO WHILE rychlost>=Vm
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjam=Tty

casovykrok=0.00001
vypoccas=0
Tty=0
Tjan=0
rychlost=0.8
deltarychl=-((0.8-Vn)*casovykrok)/Tn
DO WHILE rychlost>=Vn
Tty=Tty+casovykrok*SQRT(1-rychlost*rychlost)
rychlost=rychlost+deltarychl
ENDDO
Tjan=Tty

Vpriem=(Vn+Vm)/2
Tty22=(Tjan-Tjam)*SQRT(1-Vpriem*Vpriem)
am=-(Vn-Vm)/(Tjan-Tjam)
hm=hm+(((Vn-Vm)/2)*(Tjan-Tjam))*1000
Td=2.71828^(-am*hm)
Tty2=Tty2+(Tty22)*Td
Tm=Tn
ENDDO
? Tty2

Siesty casovy usek (spomalovaci) Tty6 = 0,6765 rokov

Spolu = 0,6762+0,36+1,9398+ 1,9391+0,36+0,6765=

5,9516 rokov =(priblizne) 6 rokov (chyba = 0,0484 roku)

(cas zakladne = 6 rokov, ked cas rakety = 4,7184 rokov)

(Situacia od polovice cesty je symetricka, tie odchylky v desattisicinach su chyba numerickeho vypoctu. Chyba 6 - 5,9516=0,0484 roku je dana pozitim vzorca (Td = e^((a*h)/(c*c))), ktory len priblizne simuluje skutocnu OTR)

A JE TO !

dodatok :

Uvadzam tu este obrazok presneho grafickeho riesenia vypoctu z pohladu dvojicky v rakete. Autorom obrazku je Tomáš Vencl. Obrazok zobrazuje len polovicu letu, druha polovica je symetricka. Cervene ciary zobrazuju , ako sa natacaju linie sucasnosti dvojiciek.

Este aby nedoslo k nedorozumeniu a niekto by si myslel, ze numericke riesenie je nepresne. Numericke riesenie je sice priblizne, ale dosiahnut nim mozeme lubovolne presny vysledok.

Takze napriklad vysledok 4,7184 (pocitany z pohladu dvojicky na zakladni) je nepresny az na poslednom uvedenom desatinnom mieste a nie je problem zmensit krok vypoctu z 0,0001 roku na mensi a vysledok bude este presnejsi, ale uz iba tie desattisiciny sa budu menit.

Nepresnost vysledku vypoctu z pohladu dvojicky v rakete je velka (0,0484 roku) nie kvoli pouzitej numerickej metode, ale kvoli pouzitiu vzorca (funkcie) ktora len priblizne simuluje priebeh skutocnej.